 1) Puisque $G$ est un groupe, l'application $\varphi_k : A \mapsto A_k A$ est une bijection de $G$ dans lui-même (translation à gauche). On en déduit :
    $A_k \sum_{i=1}^p A_i = \sum_{i=1}^p A_k A_i = \sum_{j=1}^p A_j = M$.
    
    En sommant la relation précédente pour $k$ allant de $1$ à $p$, on obtient :
    $$M^2 = (\sum_{k=1}^p A_k) M = \sum_{k=1}^p (A_k M) = \sum_{k=1}^p M = pM$$
    Soit $u = \frac{1}{p} f$. On a alors $u^2 = \frac{1}{p^2} f^2 = \frac{1}{p^2} (pf) = \frac{1}{p} f = u$. L'endomorphisme $u$ est donc un projecteur et $f = pu$ (soit $\lambda = p$).
 2) Dans une base adaptée à la décomposition $\R^n = \op{Im } u \oplus \op{Ker } u$, la matrice de $u$ est une matrice diagonale avec $\op{rg } u$ fois la valeur $1$ et le reste de zéros. Ainsi, $\op{tr } u = \op{rg } u$ et $\sum_{i=1}^p \op{tr}(A_i) = \op{tr}(M) = \op{tr}(p u) = p \op{tr}(u) = p \op{rg}(u)$, qui est bien un multiple de $p$.